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Matemática Curiosa 16
 
 
A Velha Matemática Moderna
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Matemática!
O fantasma dos estudantes.
Jovens atemorizados.
Imensos teoremas que muitos decoravam.
Ciência acabada onde nada mais havia a acrescentar.
Apenas cálculos.
Desagradável. Árida.
Sem lugar para o espírito criativo.
A imaginação relegada a segundo plano.
Hoje, a matéria predileta dos estudantes.
Conjuntos, interseções, propriedades comutativas, associativas,
produtos cartesianos, são alguns dos termos da "nova Matemática ".
Mudança radical de conceitos.
 
 

Embora, há muito tempo, matemáticos e mestres exigissem revisões drásticas no ensino, foi o advento da era espacial que provocou a conscientização do público para o problema. Subitamente o povo tomou conhecimento de que o mundo de hoje se apóia na Ciência e esta na Matemática. As necessidades presentes são de homens capazes de descrever rigorosamente as descobertas científicas; em condições de pré-digerir, sob forma de equações, os problemas a serem resolvidos pelos poderosos computadores; capazes de envolver-se nas novíssimas matemáticas exigidas para lidar com a Relatividade. Daí terem sido, na última década, elaborados diversos programas e métodos de ensino que, embora diferindo em detalhes, procuram todos uma linguagem matemática mais precisa e mais clara, livre de certas afirmativas enganosas. Quanto de nós não aprendemos que não se pode tirar 3 de 2, e depois viemos a saber que tal era possível, dando como resultado ( -1 )?

O importante é que os alunos aprendam a estrutura essencial da Matemática, ou seja, o porquê ao invés do como. Um aspecto fundamental dos novos métodos é a " descoberta ", muito distanciada da obrigação de decorar do passado. Por meio da técnica de fazer perguntas, já usada por Sócrates, os alunos são orientados a descobrir por si mesmos o mundo dos números, partindo do ponto de vista de que as coisas intelectualmente e desafiadoras são divertidas. Conseqüentemente, aprende-se melhor.

PARA QUE APRENDER MATEMÁTICA?

O ensino da matemática nada mais é que uma parte do ensino global e a primeira questão seria saber qual a finalidade deste ensino.

Um dos motivos impulsionadores mais importantes na evolução da espécie humana é a transmissão de conhecimentos de geração a geração, graças à qual o homem pode sempre se utilizar do trabalho daqueles que o precederam. Essa transmissão representa para a humanidade, no curso da sua história, o que a memória representa para o indivíduo. Assegurá-la é a finalidade primeira do ensino. Mas, deve-se transmitir tudo? Deve-se fazer uma escolha? Como transmitir?

Antes de responder, é necessário lembrar que essa legação de conhecimentos não se faz, a não ser raramente, como algo imutável. Cada geração acrescenta sua contribuição, que se ajusta ao já conhecido ou que o modifica. A época atual é caracterizada por um crescimento extraordinariamente rápido. Se o progresso científico fosse apenas um acréscimo de conhecimentos, o ensino se tornaria um problema insolúvel. Na realidade, esse progresso se realiza por uma reestruturação e simplificação do conhecimento anterior. O progresso consiste, e isso é particularmente verdadeiro na matemática, em fazer facilmente aquilo que nossos predecessores só realizavam com dificuldade.

A única solução é a que buscamos através da modificação do ensino, transformando as crianças em espíritos livres, responsáveis e criadores.

Para tanto procurou-se adaptar o ensino da matemática a dois objetivos:

Acentuar as idéias simples e fecundas que a humanidade acumulou progressivamente, e não se ater a pensamentos não muito exatos ou pouco proveitosos.

Dar prioridade absoluta à atividade do espírito. antes de aprender um resultado ou uma solução, é preciso compreender e desejar descobrir.

A chave do ensino da matemática, para atingir estes objetivos, é a utilização, cada vez maior, dos métodos ativos. Tal não significa que a memória seja negligenciada; ao contrário, o trabalho da memória é facilitado por uma reflexão preliminar. Os cálculos, indispensáveis, também não são esquecidos. apenas, bem calcular é uma conseqüência de bem raciocinar.

" Não há matemática moderna nem matemáticas tradicionais. A matemática é uma ciência contínua ." Jean-Pierre Serre, matemático francês, tem razão em sua afirmativa. O adjetivo " moderna ", estabelecido agora, é inexato. Suas origens são bem mais longínquas. Remontam a cerca de 1800 e à introdução do rigor na análise matemática. Rigor, em matemática, significa não admitir a demonstração de nenhum raciocínio sem estabelecer, claramente, as bases desse raciocínio. Entretanto, a ausência do rigor possibilitou, também, progressos inestimáveis.

O cálculo diferencial e o cálculo integral, inventados no fim do século XVII, por Newton ( 1624 - 1727 ) e Leibniz ( 1646 - 1716 ), permitiram, entre outras coisas, conhecer a rapidez e aceleração dos corpos em movimento, sendo por excelência a linguagem da física e o instrumento dos engenheiros. se os cálculos, diferencial e integral, não houvessem sido descobertos, provavelmente, nós, homens de 1970, não teríamos usinas, estradas de ferro, eletricidade, aviões e as explicações sobre astronomia seriam muito mais sucintas.

Entretanto, se Newton e Leibniz, gênios da matemática, voltassem hoje à terra e fizessem exame para uma escola de engenharia, possivelmente seriam reprovados por falta de rigor matemático. Que crime cometeram eles? Empolgados com o sucesso de seus métodos, transportaram o resultado obtido num campo, para um outro semelhante, sem se assegurar de que seu raciocínio seguia o caminho da lógica pura. Devemos absolvê-los? Os pioneiros não podem se ater as normas. Se se tivessem entregue aos refinamentos dos analistas modernos, não teriam feito as descobertas que fizeram.

DE EUCLIDES A BOURBARKI

No século seguinte, seus discípulos os seguiram, mas, no século XIX, as coisas mudaram. Os espíritos começaram a se inquietar com as audácias dos matemáticos e, em 1821, surge um livro que foi, durante muitos anos, o clássico do rigor matemático. Augustin Cauchy transformou as aulas que dera como professor da escola politécnica em livro, cujos conceitos não tardaram a se estender a todos os ramos da matemática.

Este rigor, que em outras matérias poderia se transformar num conformismo esterilizante, em matemática obrigou os sábios a forjarem novos instrumentos, transformando-o na semente que fez surgir belas colheitas. Assim, o rigor uniu-se à imaginação, dando ao mundo a teoria dos grupos, a teoria dos conjuntos, a geometria não euclidiana, a topologia, ou seja, uma boa parte do arsenal das matemáticas modernas.

Uma das primeiras noções a serem revisadas foi a do axioma. Dois séculos antes de Cristo, Euclides baseara sua geometria em quinze axiomas, que não procurou demonstrar. A verdade das matemáticas baseia-se em que tudo que é demonstrado parte de um precedente por um raciocínio; um axioma não teria demonstração, pois que nada o precede. Acreditava-se que essas verdades fossem evidentes através da metafísica; para Platão, eram colocadas em uma espécie de paraíso; para Kant, pertenciam às estruturas próprias do nosso espírito.

De repente, os axiomas matemáticos perderam sua supremacia de verdades incontestáveis. Eram somente regras de um jogo que os homens podiam escolher arbitrariamente. No fim do século XIX e começo de XX, todos os ramos da matemática foram revistos, procurando-se os axiomas que estavam na base de todos eles. Assim, estudavam-se todas as conseqüências lógicas decorrentes destes sistemas de axiomas, fazendo da matemática um jogo puramente abstrato e simbólico.

Através desse método, o alemão Hilbert ( 1862 - 1943 ) demonstrou que a lista dos axiomas de Euclides era incompleta e que, para estruturar a geometria clássica, seriam precisos vinte e sete e não quinze axiomas. O italiano Peano ( 1858 - 1932 ) trouxe à luz o conjunto mais importantes de todas as matemáticas - o conjunto dos números naturais - tributários de três axiomas, hoje denominados axiomas de Peano.

Mas a axiomatização mais radical, abrangendo todas as matemáticas, é, sem dúvida, a de Nicolas Bourbaki. Quando nasceu e viveu esse gênio? Ele é apenas a invenção de um grupo de jovens franceses. Reunidos num café de Saint Germain, por volta de 1930, descobriram que, embora saídos de uma escola superior, continuavam ignorantes diante das últimas descobertas da matemática. Dedicaram-se a seu estudo e, em 1939, apareceram os primeiros fascículos de Nicolas Bourbaki. Curiosos intrigados, os austeros e rigorosos matemáticos de então, indagavam quem era aquele cavalheiro de quem nunca se ouvira falar. Anunciou-se uma conferência na Escola Normal; quem compareceu foi um pobre coitado que os estudantes haviam chamado. Finalmente, a verdade veio à tona e hoje se conhece o nome dos criadores de Bourbaki: Henri Cartan, Elie Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsart, Jean Dieu. O grupo foi crescendo e ainda hoje existe; a maioria conta menos de cinqüenta anos e seu método é a critica impiedosa de cada um a respeito de cada idéia surgida. O que há de concreto a respeito dos Bourbaki é a obra; trinta e cinco volumes admirados no mundo inteiro, fonte de pesquisa completa de álgebra, análise, geometria e topologia, segundo métodos altamente axiomáticos.

A FAMOSA TEORIA DOS CONJUNTOS

Foi a teoria dos conjuntos que forneceu a base de toda essa obra. Em que consiste ela? Hoje a palavra estrutura é conhecida por crianças de primário. A matemática tornou-se ciência das estruturas, com Evariste Galois, jovem de vinte e um anos. Numa noite de maio de 1832, ele escreveu febrilmente, como se seus minutos estivessem contados. Na verdade, estavam; foi morto em um duelo na manhã seguinte. Atacou um problema de Álgebra dificílimo - as equações. Mas, ao invés de efetuar cálculos apenas, mostrou a marcha do pensamento para chegar a um resultado. Segundo sua própria expressão, fez a " análise da análise ". Sua obra de sessenta páginas, avançadas em relação ao seu tempo, sobrevive, após longo esquecimento. E o espírito de seu método tornou-se o espírito das matemáticas modernas.

Contudo, Galois não é o pai verdadeiro da matemática moderna. A paternidade pertence, de direito, a George Cantor ( 1845 - 1918 ). A definição de Cantor de conjuntos foi: " Toda multiplicidade pode ser pensada como uma unidade, ou seja, toda coleção de elementos determinados pode ser, por uma lei, combinada em um todo ". Ao invés de lidar exclusivamente com números, a teoria dos conjuntos trata de coleções de coisas bem definidas. Por exemplo: os alunos de uma turma formam um conjunto e o número de alunos é apenas uma das propriedades deste conjunto. Essa teoria seria relativamente simples, se se limitasse aos conjuntos acabados ( ou finitos ). Cantor tinha outras ambições. Queria explorar os conjuntos infinitos ( por exemplo: o conjunto dos números inteiros é infinito ). Suas propriedades são estranhas. Em 1864, demonstrou, rigorosamente, que o conjunto dos números inteiros era equivalente ao conjunto dos números algébricos. Ora, os números inteiros são algébricos, mas os números algébricos contem, em sua série, outros números que não os inteiros. Isto quer dizer que, no domínio do infinito, a parte poderia ser igual ao todo. Esta aritmética levantou confusão. Em particular, o alemão Leopold Kronecker ( 1823 - 1891 ) desencadeou verdadeira guerra contra o pobre Cantor. Esses ataques contribuíram certamente para abalar o frágil sistema nervoso de Cantor, que terminou morrendo num asilo de alienados.

A teoria dos conjuntos trouxe ainda uma outra polêmica; surgiram os paradoxos. Ou seja, percebeu-se que certos conjuntos, mesmo finitos eram contraditórios. Felizmente as crises em matemática são fecundas e as ciências exatas saíram reforçadas disso que se chamou a " crise dos fundamentos ".

Mas os conjuntos triunfaram e Cantor também. Afinal, não foi ele quem afirmou que a " essência mesma da matemática é a liberdade "? Este é, em síntese, o fundamento dos modernos métodos de ensino.

" Até quando os pobres jovens serão obrigados a escutar ou repetir toda a jornada? Não haveria maior vantagem em exigir dos alunos os mesmos raciocínios e os mesmos cálculos, mas com formas mais simples e mais fecundas? Mas não, ensinam-se, minuciosamente, teorias truncadas e carregadas de reflexões inúteis, enquanto se omitem proposições as mais simples e brilhantes do pensamento algébrico. " Quem escreveu isto? Evariste Galois na " A Gazeta das Escolas ", em 2 de janeiro de 1831! A semente lançada por Galois e Cantor levou muito tempo no esquecimento, mas agora está frutificando. As crianças não precisam mais resolver aqueles célebres problemas de tanques que se enchem e esvaziam, de trens que se cruzam ou de cabeças e patas de animais. Estes problemas, na verdade, tem apenas um distante parentesco com a verdadeira matemática. São apenas exercícios que exigem truques para resolvê-los, sem nenhuma aplicação prática. Os novos programas aboliram essas adivinhações, substituindo-as por um estudo elementar dos conjuntos. Assim, cedo os jovens compreenderão que geometria e álgebra são, sob formas diferentes, a mesma disciplina, com a mesma origem - os conjuntos. Mas, como explicar esse monumento de abstração a uma criança? Os conjuntos estudados pelos alunos de primário ou dos primeiros anos de secundário não são oriundos de axiomas e paradoxos, que só serão aprendidos na universidade. são diagramas, cubos, bolas, flechas, freqüentemente coloridos, e com os quais se opera obedecendo às regras da lógica mais elementar.

A matemática moderna é apenas um passo para uma aprendizagem melhor; jamais pretendeu ser uma inovação científica. Os excessos cometidos hoje, em seu nome, serão reconsiderados amanhã e ela poderá ser melhor compreendida como ciência exata.

As matemáticas modernas não dizem nada mais que velhas verdades. Sua glória é dizer mais simplesmente e melhor.
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Texto extraído da
Revista Petrobras nº 243
Mai/Jun/1970
(reproduzido na íntegra)
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